Question

（2013•宜宾一模）某校开设了甲、乙、丙、丁四门选修课，每名学生必须且只需选修1门选修课，有3名学生A、B、C选修什么课相互独立．
（Ⅰ）求学生A、B、C中有且只有一人选修课程甲，无一人选修课程乙的概率；
（Ⅱ）求课程丙或丁被这3名学生选修的人数ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用古典概型概率公式，即可求得概率；
（Ⅱ）确定课程丙或丁被这3名学生选修的人数的取值，求出相应的概率，即可求得期望．

解答：解：（Ⅰ）记“学生A、B、C中有一人选修课程甲，且无人选修课程乙”为事件R…（1分）
∴P（R）=

C 1 3 ×2×2

43

=

3

16

                                …（5分）
答：学生A、B、C中有一人选修课程甲，且无一人选修课程乙的概率为

3

16

．…（6分）
（Ⅱ）课程丙或丁被这3名学生选修的人数ξ=0、1、2、3                 …（7分）
P（ξ=0）=

23

43

=

8

64

，P（ξ=1）=

C 1 3 × A 1 2 ×22

43

=

24

64

，
P（ξ=2）=

C 2 3 × A 1 2 ×2+ C 2 3 × A 2 2 ×2

43

=

24

64

，P（ξ=3）=

C 2 3 × A 2 2 + C 3 3 A 1 2

43

=

8

64

．…（11分）
所以Eξ=0×

8

64

+1×

24

64

+2×

24

64

+3×

8

64

=

3

2

．…（12分）

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．