Question

选修4-2　矩阵与变换
已知M=

1 -2 -2 1

，α=

3 1

，试计算M²⁰α．

Answer 1

分析：根据矩阵M的特征多项式的零点求得两个特征值分别为3和-1，然后根据特征向量的定义，分别求出M属于λ₁=3的特征向量

a

和M属于λ₂=-1的特征向量

b

，将

α

表示成

a

、

b

的线性组合，最后利用矩阵乘法的性质结合特征向量的含义，可算出M²⁰α的值．

解答：解：矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）²-4
令f（λ）=0，得λ₁=3，λ₂=-1，
设M属于λ₁=3的特征向量为

a

=

x y

，则M

a

=λ₁

a

即

1 -2 -2 1

•

x y

=

x-2y -2x+y

=

3x 3y

所以

x-2y=3x -2x+y=3y

，即x=-y，
令x=1，y=-1，得M属于λ₁=3的特征向量为

a

=

1 -1

同理求得M属于λ₂=-1的特征向量为

b

=

1 1

设α=

3 1

=λ

a

+μ

b

=

λ+μ -λ+μ

，解之得λ=1，μ=2
∴α=

1 -1

+2

1 1

，
所以M20α=320

1 -1

+2(-1)20

1 1

=

320+2 -320+2

点评：本题用矩阵的特征向量来计算矩阵的乘方运算和矩阵与向量相乘的运算，考查了的乘法运算和特征值与特征向量的计算等知识点，属于基础题．