Question

【题目】已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．
（1）求证：f（x）≥5；
（2）若对任意实数x，15﹣2f（x）＜a2+ 都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ ，

∴f（x）的最小值为5，∴f（x）≥5

（2）解：由（Ⅰ）知：15﹣2f（x）的最大值等于5．

∵ ，

“=”成立 ，即 ，

∴当 时， 取得最小值5．

当 时， ，

又∵对任意实数x， 都成立，

∴ ．∴a的取值范围为

【解析】（1）通过讨论x的范围，得到关于f（x）的分段函数，从而求出f（x）的最小值即可；（2）根据基本不等式的性质求出a的范围即可．
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题．