Question

（2011•新疆模拟）在平面几何里，已知Rt_△SAB的两边SA，SB互相垂直，且SA=a，SB=b，则AB边上的高h=

ab

a2+b2

；现在把结论类比到空间：三棱锥S-ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，SH⊥平面ABC，且SA=a，SB=b，SC=c，则点S到平面ABC的距离h'=

abc

a2b2+b2c2+c2a2

．

Answer 1

分析：设S到平面ABC的距离为h，过点S向底面ABC引垂线，垂足为O，连CO并延长交AB于M，连接SM，则SM⊥AB，CM⊥AB，在直角三角形SAB中可求得AB=

a2+b2

，SM=

ab

a2+b2

，同理在直角三角形CSM中可求得|CM|=

c2+ a2b2 a2+b2

，于是S_△ABC=

1

2

•|AB|•|CM|=

1

2

•

a2+b2

•

c2+ a2b2 a2+b2

=

1

2

•

a2b2+a2c2 +b2c2

，由V_S-ABC=V_C-ABS，即可求得S到平面ABC的距离为h′．

解答：解：把结论类比到空间：三棱锥S-ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两相互垂直，SH⊥平面ABC，且SA=a，SB=b，SC=c，则点S到平面ABC的距离h'=

abc

a2b2+b2c2+c2a2

．
证明：设S到平面ABC的距离为h′，过点S向底面ABC引垂线，垂足为O，连CO并延长交AB于M，连接SM，则SM⊥AB，CM⊥AB，
在直角三角形SAB中，由勾股定理得|AB|=

a2+b2

，又ab=|AB|•|SM|
∴|SM|=

ab

a2+b2

，
∵SA，SB，SC两两相互垂直，故SC⊥平面SAB，SM?平面SAB，
∴SC⊥SM，
∵在直角三角形CSM中，|CM|=

c2+ a2b2 a2+b2

，
∴是S_△ABC=

1

2

•|AB|•|CM|=

1

2

•

a2+b2

•

c2+ a2b2 a2+b2

=

1

2

•

a2b2+a2c2 +b2c2

，
由V_S-ABC=V_C-ABS可得：

1

3

•

1

2

abc=

1

3

S_△ABC•h′=

1

3

•

1

2

•

a2b2+a2c2 +b2c2

•h′，
∴h′=

abc

a2b2+b2c2+ c2a2

，
∴S到平面ABC的距离h′=

abc

a2b2+b2c2+ c2a2

．
故答案为：

abc

a2b2+b2c2+c2a2

．

点评：本题考查类比推理，难点在于线面垂直（SC⊥平面SAB）的性质（SC⊥SM）的应用，着重考查类比推理的思想及等体积轮换公式的应用，属于中档题．