Question

下面有五个命题：
①函数y=-sin⁴x+cos⁴x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=

kπ

2

，k∈Z}}；
③把函数y=3sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

得到y=3sin2x的图象；
④函数y=sin（x-

π

2

）在[0，π]上是单调递减的；
⑤直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx（ω＞0）相交的相邻两点间的距离是

2π

ω

．
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：①，利用三角函数间的关系式与二倍角的余弦，化简可得函数y=cos2x，可知其最小正周期是π，可判断①；
②，写出终边在y轴上的角的集合，可判断②；
③，利用三角恒等变换把函数y=3sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

，求得其解析式，可判断③；
④，利用诱导公式化简得y=-cosx，再利用复合函数的单调性质，可判断④；
⑤，利用正切函数的周期性质，可知直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx（ω＞0）相交的相邻两点间的距离是

π

ω

，可判断⑤．

解答： 解：对于①，因为y=-sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）（-sin²x+cos²x）=cos2x，其最小正周期是π，所以①正确；
对于②，终边在y轴上的角的集合是{α|α=kπ+

π

2

，k∈Z}，故②错误；
对于③，把函数y=3sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

得到y=3sin[3（x-

π

6

）+

π

3

]=3sin2x的图象，故③正确；
对于④，函数y=sin（x-

π

2

）=-cosx在[0，π]上是单调递增的，故④错误；
对于⑤，直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx（ω＞0）相交的相邻两点间的距离是

π

ω

，故⑤错误．
综上所述，以上5个选项中，只有①③正确，
故答案为：①③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查三角函数的恒等变换与图象变换，考查正弦函数、正切函数的周期性、余弦函数的单调性的应用，熟练掌握三角函数的图象与性质是关键，属于中档题．