Question

已知两圆C₁：x²+y²+6x-4=0和圆C₂：x²+y²+6y-28=0，
（1）判断两圆的位置关系；   （2）若相交请求出两圆公共弦的长；
（3）求过两圆的交点，且圆心在直线x-y=0上的圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）将来那个圆的圆心距和两圆的半径之和、半径之差作对比，从而判断两圆的位置关系．
（2）将两圆的方程相减可得公共弦方程，求出圆C₁的圆心到公共弦的距离，由弦长公式求得两圆公共弦的长．
（3）设圆的方程：x²+y²+6x-4+λ（x²+y²+6y-28）=0，把圆心坐标代入所设的圆的方程求出λ值，可得所求的圆的方程．
解答：解：（1）将圆C₁：x²+y²+6x-4=0和圆C₂：x²+y²+6y-28=0化为标准形式分别为：（x+3）²+y²=13和x²+（y+3）²=37，
两圆的圆心距、半径之和、半径之差分别为：，
因为R-r＜d＜R+r，所以，两圆相交．
（2）将两圆的方程相减可得公共弦方程：x-y+4=0，圆C₁：x²+y²+6x-4=0到公共弦的距离，
由弦长公式求得公共弦弦长=2．
（3）设圆的方程：x²+y²+6x-4+λ（x²+y²+6y-28）=0，
其圆心坐标为（）代入所设的圆的方程，解得λ=1（11分）
所以所求方程为x²+y²+3x+3y-16=0．
点评：本题考查两圆的位置关系的判定方法，点到直线的距离公式、弦长公式、圆系方程的应用．