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    [1]已知矩阵A=
    33
    cd
    ，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
    1
    1
    ，属于特征值1的一个特征向量为α2=
    3
    -2
    ．
    （1）求矩阵A，并写出A的逆矩阵；
    （2）若向量β=
    2
    7
    ，试计算M50β．
    [2]已知f(x)=
    		1+x2
    是定义在区间[-1，1]上的函数，设x1，x2∈[-1，1]且x1≠x2．
    （1）求证：|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|；
    （2）若a2+b2=1，求证：f(a)+f(b)≤
    		6
    ．
    分析：[1]（1）由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
    1
    1
    可得，c+d=6；由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=
    3
    -2
    ，
    可得3c-2d=-2，由此能求出矩阵A和A的逆矩阵．
    （2）令β=mα1+nα2可解得m=5，n=-1，即β=5α1-α2．由此能求出M50β．
    [2]（1）|f(x1)-f(x2)|=
    |x1-x2||x1+x2|
    		1+x12
    +
    		1+x22
    ，由此可证明|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|；
    （2）f(a)+f(b)=
    		1+a2
    +
    		1+b2
    由此能够推导出
    		1+a2
    +
    		1+b2
    ≤
    		6
    ．
    解答：解：[1]（1）由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
    1
    1
    可得，
    33
    cd
    1
    1
    =6
    1
    1
    ，即c+d=6；（1分）
    由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=
    3
    -2
    ，
    可得
    33
    cd
    3
    -2
    =
    3
    -2
    ，即3c-2d=-2，（2分）
    解得
    c=2
    d=4
    即A=
    33
    24
    ，（3分）
    A逆矩阵是
    2
    3
    		-
    1
    2
    -
    1
    3
    1
    2
    ．（5分）
    （2）令β=mα1+nα2可解得m=5，n=-1，即β=5α1-α2．（7分）
    所以M50β=M50（5α1-α2）
    =5（M50α1）-（M50α2）
    =5（λ150α1）-（λ250α2）
    =5•650
    1
    1
    -150
    3
    -2
    •=
    5•650-3
    5•650+2
    ．（10分）
    （选修4-5：不等式选讲）
    证：[2]（1）|f(x1)-f(x2)|=
    |x1-x2||x1+x2|
    		1+x12
    +
    		1+x22

    ∵|x1+x2|≤|x1|+|x2|，
    		1+
    x
    2
    1
    +
    		1+
    x
    2
    2
    ＞|x1|+|x2|    ，
    ∴|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|．（5分）
    （2）f(a)+f(b)=
    		1+a2
    +
    		1+b2
    ，
    ∵[(
    		1+a2
    )2+(
    		1+b2
    )2](12+12)≥(
    		1+a2
    +
    		1+b2
    )2    a2+b2=1，
    ∴
    		1+a2
    +
    		1+b2
    ≤
    		6
    ．（10分）
    点评：本题考查二阶行列式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的灵活运用．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
    （I）选修4-2：矩阵与变换
    已知矩阵A=
    01
    a0
    ，矩阵B=
    02
    b0
    ，直线l1    ：x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得直线l2，直线l2又经矩阵B所对应的变换得到直线l3：x+y+4=0，求直线l2的方程．
    （II）选修4-4：坐标系与参数方程
    求直线
    x=-1+2t
    y=-2t
    被曲线
    x=1+4cosθ
    y=-1+4sinθ
    截得的弦长．
    （III）选修4-5：不等式选讲
    若存在实数x满足不等式|x-4|+|x-3|＜a，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知矩阵A=
    ab
    cd
    ，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=
    1
    1
    ，属于特征值-1的一个特征向量为α2=
    1
    -1
    ，则矩阵A=
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    三题中任选两题作答
    （1）（2011年江苏高考）已知矩阵A=
    11
    21
    ，向量β=
    1
    2
    ，求向量α，使得A2α=β
    （2）（2011年山西六校模考）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为(4，
    π
    2
    )    ，若直线l过点P，且倾斜角为
    π
    3
    ，圆C以M为圆心、4为半径．
    ①求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；  ②试判定直线l和圆C的位置关系．
    （3）若正数a，b，c满足a+b+c=1，求
    1
    3a+2
    +
    1
    3b+2
    +
    1
    3c+2
    的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （选修4-2：矩阵与变换）
    已知矩阵A=
    33
    cd
    ，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
    1
    1
    ，属于特征值1的一个特征向量为α2=
    3
    -2
    ．
    ①求矩阵A；②求直线y=x+2在矩阵A的作用下得到的曲线方程．

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