Question

【题目】设函数f（x）=﹣x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值．xOy平面上点A、B的坐标分别为（x1 ， f（x1））、（x2 ， f（x2）），该平面上动点P满足 =4．求：
（1）求点A、B的坐标；
（2）求动点P的轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=﹣x3+3x+2，求导f'（x）=﹣3x2+3，

令f'（x）=0，

解得：x=1或x=﹣1，

当x＜﹣1时，f'（x）＜0，

当﹣1＜x＜1时，f'（x）＞0，

当x＞1时，f'（x）＜0，

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓

所以，函数在x=﹣1处取得极小值，在x=1取得极大值，

故x1=﹣1，x2=1，f（﹣1）=0，f（1）=4，

所以点A、B的坐标为A（﹣1，0），B（1，4）

（2）解：设P（x，y）， ，

整理得：x2+（y﹣2）2=9，

∴动点P的轨迹方程：x2+（y﹣2）2=9

【解析】（1）由题意可知：函数f（x）=﹣x3+3x+2，求导f'（x）=﹣3x2+3，f'（x）=0，解得：x=1或x=﹣1，当f'（x）＜0，解得：x＜﹣1或x＞1，当f'（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1，因此函数在x=﹣1处取得极小值，在x=1取得极大值，代入即可求得点A、B的坐标；（2） ，整理即可求得动点P的轨迹方程．
【考点精析】通过灵活运用函数的极值与导数，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．