Question

（2013•安庆三模）对于三次函数f（x）-ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f^t（x）是函数y=f（x）的导数，f^tt（x）是函数f^t的导数，若方程f^tt（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个一元三次函数都有“拐点”；且该“拐点”也为该函数的对称中心．若f（x）=x³-

3

2

x²+

1

2

x+1，则f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+…+f（

2013

2014

）=（　　）

A．1

B．2

C．2013

D．2014

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0求出x的值，可得f（1-x）+f（x）=2，从而得到f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+…+f（

2013

2014

）的值．

解答：解：由f（x）=x³-

3

2

x²+

1

2

x+1，得f′(x)=3x2-3x+

1

2

，
所以f^′′（x）=6x-3，由f^′′（x）=6x-3=0，得x=

1

2

．
∴f(

1

2

)=1，∴f（x）的对称中心为（

1

2

，1），
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f(

1

2014

)+f(

2013

2014

)=f(

2

2014

)+f(

2012

2014

)=…=2f(

1007

2014

)=2．
∴f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+…+f（

2013

2014

）=2013．
故选C．

点评：本题是新定义题，考查了函数导函数的零点的求法，考查了函数的性质，解答的关键是寻找函数值所满足的规律，是中档题．