Question

正三棱锥S-ABC的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，球心为O，M是线段SO的中点，过M与SO垂直的平面分别截三棱锥S-ABC和球所得平面图形的面积比为

3

4π

．

Answer 1

分析：根据组合体的结构特征，得出截面三角形的面积S₁=

1

4

S_△ABC=

3 3

16

，再求出平面截球所得截面圆半径为

12-( 1 2 )2

=

3

2

得出截面圆面积，再求比值即可．

解答：解：由已知，△ABC是求大圆的内接正三角形，由于半径为1，所以边长AB=

3

，S_△ABC=

3

4

×(

3

)2=

3 3

4

．
因为M是线段SO的中点，且SO=1，所以平面截三棱锥S-ABC所得截面三角形的面积S₁=

1

4

S_△ABC=

3 3

16

平面截球所得截面圆半径为

12-( 1 2 )2

=

3

2

．截面圆面积S₂=π×

3

4

=

3π

4

，面积之比为

3

4π

故答案为：

3

4π

．

点评：本题考查球的内接几何体问题，考查分析、空间想象能力，转化计算能力．