Question

本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分
（1）二阶矩阵M对应的变换将向量，分别变换成向量，，直线l在M的变换下所得到的直线l′的方程是2x-y-1=0，求直线l的方程．
（2）过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线l和曲线C：（s为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．
（3）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出二阶矩阵M，由矩阵的乘法得到关于a、b、c、d的方程组，解方程组可求出M．再设点P（x，y）是直线l上任一点，在M变换下对应的点为P′（x，y），由矩阵的乘法得到x、y、x、y之间的关系，用x、y表示出x、y，代入已知直线方程即可．
（2）消去s得x与y的方程，与直线方程联立，由弦长公式求弦长即可．
（3）不等式|a-1|≥x+2y+2z恒成立，只要|a-1|≥（x+2y+2z）max，利用柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
求出x+2y+2z的最大值，再解关于a的绝对值不等式即可．
解答：解：（1）设，则由题知=，=
所以，解得，所以M=．
设点P（x，y）是直线l上任一点，在M变换下对应的点为P′（x，y），
那么=即．
因为2x-y-1=0，∴2（-x-4y）-（3x+5y）-1=0 即5x+13y+1=0，
因此直线l的方程是5x+13y+1=0．
（2）由已知，直线的参数方程为t为参数），
曲线s为参数）可以化为x²-y²=4．
将直线的参数方程代入上式，得．
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，∴t₁+t₂=，t₁t₂=10．
∴AB=|t₁-t₂|=．
（3）由柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
即x+2y+2z≤3，当且仅当
即，，时，x+2y+2z取得最大值3．
∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x²+y²+z²=1的一切实数x，y，z恒成立，
只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．
即实数的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）．
点评：本题考查矩阵变换、参数方程和柯西不等式的应用，考查运算能力和运用所学知识解决问题的能力．