Question

已知x_i∈[0，10]（i=1，2，…，10），x₁，x₂，…，x₁₀的平均数为7.5，当(x1-10)2+(x2-10)2+…+(x10-10)2取得最大值时，x₁，x₂，…，x₁₀这十个数中等于0的数的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：根据平均数为75，先将(x1-10)2+(x2-10)2+…+(x10-10)2化成(x1-7.5)2+(x2-7.5)2+…+(x10-7.5)2+62.5，从而有当(x1-10)2+(x2-10)2+…+(x10-10)2取得最大值等价于x₁，x₂，…，x₁₀的方差取得最大值，再根据方差的意义，从而x₁，x₂，…，x₁₀中尽可能多地取0或10，分类讨论：①假设x₁，x₂，…，x₁₀这十个数9个都取0或10，②假设x₁，x₂，…，x₁₀这十个数都取0或10，即可求出答案．

解答：解：∵(x1-10)2+(x2-10)2+…+(x10-10)2
=(x1-7.5)2+(x2-7.5)2+…+(x10-7.5)2+62.5，
∴当(x1-10)2+(x2-10)2+…+(x10-10)2取得最大值等价于x₁，x₂，…，x₁₀的方差取得最大值，
根据方差的意义，从而x₁，x₂，…，x₁₀中尽可能多地取0或10，
①假设x₁，x₂，…，x₁₀这十个数9个都取0或10，设有n个0，9-n个10，
则75=x₁+x₂+…+x₁₀，解得n=2.5不合题意；
②假设x₁，x₂，…，x₁₀这十个数都取0或10，设有n个0，10-n个10，另一个为a，
则75=x₁+x₂+…+x₁₀，0+10（9-n）+a=75，解得n=

15+a

10

∈（1.5，2.5），
取n=2，a=5，此时方差最大，合题意．
故选C．

点评：本题考查方差的意义：一般地设n个数据，x₁，x₂，…x_n，则方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．