Question

【题目】已知函数f（x）=b+logax（x＞0且a≠1）的图象经过点（8，2）和（1，﹣1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）[f（x）]2=3f（x），求实数x的值；
（3）令y=g（x）=2f（x+1）﹣f（x），求y=g（x）的最小值及其最小值时x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得，b+loga8=2，b+loga1=﹣1，（a＞0且a≠1），

解得a=2，b=﹣1；

故f（x）=log2x﹣1（x＞0）；

（2）解：[f（x）]2=3f（x），即f（x）=0或3，

∴log2x﹣1=0或3，

∴x=2或16；

（3）解：g（x）=2f（x+1）﹣f（x）

=2[log2（x+1）﹣1]﹣（log2x﹣1）=log2（x+ +2）﹣1≥1，

当且仅当x= ，即x=1时，等号成立）．

于是，当x=1时，g（x）取得最小值1．

【解析】（1）由已知得b+loga8=2，b+loga1=﹣1，从而求解析式即可；（2）[f（x）]2=3f（x），即f（x）=0或3，即可求实数x的值；（3）化简g（x）=2[log2（x+1）﹣1]﹣（log2x﹣1）=log2（x+ +2）﹣1，从而利用基本不等式求最值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解对数函数的单调性与特殊点的相关知识，掌握过定点（1，0），即x=1时，y=0;a>1时在（0，+∞）上是增函数;0>a>1时在（0，+∞）上是减函数．