Question

下列代数式（其中k∈N^*）能被9整除的是（ ）
A．6+6•7^k
B．2+7^k-1
C．2（2+7^k+1）
D．3（2+7^k）

Answer 1

【答案】分析：本题考查的知识点是数学归纳法，我们根据归纳法的步骤，可先证明n=1时，3（2+7^k）能被9整除，再假设当k=n（n∈N^*）时3（2+7ⁿ）还能被9整除，进而论证k=n+1时的情况，如果命题也成立，说明3（2+7ⁿ）能被9整除，如果命题不成立，则说明3（2+7ⁿ）不能被9整除．
解答：解：（1）当k=1时，A答案值为49，B答案值为3，C答案值为102，显然只有D答案3（2+7^k）能被9整除．
（2）假设当k=n（n∈N^*）时，命题成立，
即3（2+7ⁿ）能被9整除，
那么3（2+7ⁿ⁺¹）=21（2+7ⁿ）-36．
这就是说，
k=n+1时命题也成立．
由（1）（2）可知，
命题对任何k∈N^*都成立．
故选D
点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．