Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，，，.

（1）求PC的长；

（2）求AP与平面PBC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）取AD的中点E,连接PE,BE,由等边三角形的性质可得,由勾股定理可得,则平面PBE,即,由平行四边形可得,进而求解；

（2）过点A作平面PBC的垂线,垂足为H,连接PH,则即AP与平面PBC所成的角,由（1）可得平面PBE,则平面PBE,即可证得平面PBC,由平面PBC可得,进而利用勾股定理求得,即可求解.

解：（1）如图,取AD的中点E,连接PE,BE,因为,所以,

因为,,,所以,即,所以,所以,

又,,平面PBE,所以平面PBE,

又平面PBE,所以,

又,所以,

因为,所以.

（2）过点A作平面PBC的垂线,垂足为H,连接PH,则即AP与平面PBC所成的角,

过E作PB的垂线交PB于点F,因为,平面PBE,

所以平面PBE,所以,

又,,PB,平面PBC,

所以平面PBC,

因为,所以平面PBC,所以,

在中,,,,所以,所以,

因此,

所以.