Question

设二次方程，有两根和，且满足，
（1）试用表示；
（2）证明是等比数列；
（3）设，，为的前n项和，证明，（）。

Answer 1

（1），；（2）见解析；（3）

本题是对数列的递推关系以及韦达定理和等比数列知识的综合考查．本题虽然问比较多，但每一问都比较基础，属于中档题．
（1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得
（2）对（1）的结论两边同时减去 ，整理即可证：数列{a_n- }是等比数列；
（3）先利用（2）求出数列{a_n- }的通项公式，即可求数列{a_n}的通项公式和，然后利用错位相减法得到结论。
（1）即，可推出，
（2），且
∴是以为首项，公比为的等比数列；
（3），  


两式相减得  
整理得