Question

已知a∈R，函数f(x)=

1

2

ax2-lnx．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）是否存在a的值，使得方程f（x）=2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：由函数f(x)=

1

2

ax2-lnx，得到函数的定义域，
（1）代入a=1可得f′（x），得到f′（1），进而可得切线的斜率；
（2）可得导函数为f′(x)=ax-

1

x

=

ax2-1

x

，x＞0，分a≤0和a＞0两类分别求得导数的正负情况，进而可得单调性；
（3）结合（1）与（2）可得出函数的单调性与极值；若使得方程f（x）=2有两个不等的实数根，只要极小值小于2即可，列出不等式，求出a的范围．

解答：解：（1）当a=1时，f′(x)=x-

1

x

，x＞0∴k=f′（1）=0
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为0；
（2）f′(x)=ax-

1

x

=

ax2-1

x

，x＞0
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，令f′(x)=0，解得x=

a

a

.当x∈(0，

a

a

)时，f′(x)＜0；当x∈(

a

a

，+∞)时，f′(x)＞0．
∴函数f(x)在(0，

a

a

)内单调递减；在(

a

a

，+∞)内单调递增
（3）存在a∈（0，e³），使得方程f（x）=2有两个不等的实数根．
理由如下：
由（1）可知当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
方程f（x）=2不可能有两个不等的实数根；                                 
由（2）得，函数f(x)在(0，

a

a

)内单调递减，在(

a

a

，+∞)内单调递增，
使得方程f（x）=2有两个不等的实数根，等价于函数f（x）的极小值f(

a

a

)＜2，
即f(

a

a

)=

1

2

+

1

2

lna＜2，解得0＜a＜e³
所以a的取值范围是（0，e³）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及切线方程的求解，求函数的单调区间及极值，以及函数的零点个数问题，属中档题．