Question

【题目】某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用an的信息如图．

（1）求an；
（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；
（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，a1=2，a2=4，

∴每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，

∴an=a1+2（n﹣1）=2n

（2）解：设纯收入与年数n的关系为f（n），

则f（n）=21n﹣[2n+ ×2]﹣25=20n﹣n2﹣25，

由f（n）＞0得n2﹣20n+25＜0，

解得10﹣5 ＜n＜10+5 ，

因为n∈N，所以n=2，3，4，…18．

即从第2年该公司开始获利

（3）解：年平均收入为 =20﹣（n+ ）≤20﹣2×5=10，

当且仅当n=5时，年平均收益最大．

所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．

【解析】（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：an=a1+2（n﹣1）=2n．（2）设纯收入与年数n的关系为f（n），则f（n）=20n﹣n2﹣25，由此能求出引进这种设备后第2年该公司开始获利．（3）年平均收入为 =20﹣（n+ ）≤20﹣2×5=10，由此能求出这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本不等式的相关知识，掌握基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．