Question

点P是圆x²+y²=16上的一个动点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为D，Q为线段PD的中点．
（1）求点Q的轨迹方程．
（2）若经过点（-1，1）的直线与Q点轨迹有两个不同交点，求直线斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意点P是圆x²+y²=16上的一个动点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为D，Q为线段PD的中点，可得点Q的坐标与点P的坐标的关系，用中点Q的坐标表示出点P的坐标，然后再代入圆的方程求出点Q的轨迹方程
（2）由（1）点Q的轨迹是一个椭圆，由于点（-1，1）在椭圆的内部，过点（-1，1）的直线与椭圆一定有两个交点，故可得k∈R

解答：解：由题意，令Q（x，y），P（s，t），
由于点P是圆x²+y²=16上的一个动点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为D，Q为线段PD的中点
∴s=x，t=2y，又点P是圆x²+y²=16上的一个动点
∴x²+4y²=16，即为点Q的轨迹方程
（2）由（1）点Q的轨迹是椭圆

x2

16

+

y2

4

=1
由于点（-1，1）一定在椭圆内，故过点点的直线一定与椭圆有两个交点
所以此直线的斜率的取值范围是R

点评：本题考查直线与圆方程的应用，解答本题关键点有二，一是熟练掌握代入法求轨迹方程，二是确定点（-1，1）在椭圆的内部，从而判断出直线斜率的取值范围，本题考查了推理判断的能力及代入法求轨迹方程技巧．