Question

【题目】若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0 ， 使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．
（1）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；
（2）已知函数 具有性质M，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：f（x）=2x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1）得：

，

即： ，解得x0=1．

所以函数f（x）=2x具有性质M．

（2）解：h（x）的定义域为R，且可得a＞0．

因为h（x）具有性质M，所以存在x0，

使h（x0+1）=h（x0）+h（1），

代入得： ．

化为2（x02+1）=a（x0+1）2+a，

整理得：（a﹣2）x02+2ax0+2a﹣2=0有实根．

①若a=2，得 ．

②若a≠2，得△≥0，即a2﹣6a+4≤0，解得：a ，

所以：a ．

综上可得a ．

【解析】1、由题设条件可以 得 到,x0=1．由此可得性质成立。
2、具有性质M的函数h(x)满足,整理得到关于的方程，讨论a的取值注意讨论二次项系数是否为零的情况。
【考点精析】认真审题，首先需要了解对数的运算性质(①加法：②减法：③数乘：④⑤)．