Question

设{a_n}是公比大于1的等比数列，已知a₁+a₂=8，a₃+a₄=72．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若b_n=

n•an

2

，求数列{b_n}前n项和；
（3）若{c_n}满足c_n=a_n+（-1）ⁿlna_n，求数列{c_n}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）设数列{a_n}的公比为q，依题意，q²=

a3+a4

a1+a2

=9，又q＞1，可求得q=3，继而可求得a₁=2，于是可求得数列{a_n}通项公式；
（2）由（1）可知b_n=

n•an

2

=n•3^n-1，设数列{b_n}前n项和为S_n，则S_n=b₁+b₂+…+b_n=1+2×3+3×3²+…+n•3^n-1，利用错位相减法可求得S_n；
（3）依题意，c_n=a_n+（-1）ⁿlna_n=2•3^n-1+（-1）ⁿln（2•3^n-1），利用分组求和的方法可求得数列{c_n}前n项和T_n．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，∵a₁+a₂=8，a₃+a₄=72，
∴q²=

a3+a4

a1+a2

=9，又q＞1，
∴q=3，
∴4a₁=8，a₁=2，
∴数列{a_n}通项公式为：a_n=2•3^n-1；
（2）∵b_n=

n•an

2

=n•3^n-1，设数列{b_n}前n项和为S_n；
则S_n=b₁+b₂+…+b_n=1+2×3+3×3²+…+n•3^n-1，①
3S_n=b₁+b₂+…+b_n=1×3+2×3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，②
①-②得：-2S_n=1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ=

1-3n

1-3

-n•3ⁿ=

1-2n

2

×3ⁿ-

1

2

，
∴S_n=

2n-1

4

×3ⁿ+

1

4

；
（3）∵a_n=2•3^n-1；
∴c_n=a_n+（-1）ⁿlna_n=2•3^n-1+（-1）ⁿln（2•3^n-1）
=2•3^n-1+（-1）ⁿ[ln2+（n-1）ln3]，
令P_n=（-1）¹[ln2+（1-1）ln3]+（-1）²[ln2+（2-1）ln3]-…+（-1）ⁿ[ln2+（n-1）ln3]
=[-ln2+（ln2+ln3）]+[-（ln2+2ln3）+（ln2+3ln3）]+…+（-1）ⁿ[ln2+（n-1）ln3]
=ln3+ln3+…+（-1）ⁿ[ln2+（n-1）ln3]，
当n为偶数时，P_n=

n

2

ln3；
当n为奇数时，P_n=

n-1

2

ln3-[ln2+（n-1）ln3]=-ln2-

n-1

2

ln3；
又2•3^1-1+2•3^2-1+2•3^3-1+…+2•3^n-1=2（1+3+3²+…+3^n-1）=2×

1-3n

1-3

=3ⁿ-1，
∴数列{c_n}前n项和
T_n=c₁+c₂+…+c_n=（2•3^1-1+2•3^2-1+2•3^3-1+…+2•3^n-1）+（-1）¹[ln2+（1-1）ln3]+（-1）²[ln2+（2-1）ln3]-…+（-1）ⁿ[ln2+（n-1）ln3]
=3ⁿ-1+P_n
=

3n-1-ln2- n-1 2 ln3，n为奇数 3n-1+ n 2 ln3，n为偶数

．

点评：本题考查数列的求和，考查等比数列的通项公式与错位相减法求和，突出考查分组求和的应用，考查抽象思维、逻辑思维能力与综合运算能力，属于难题．