Question

设函数f(x)=lnx-px+1
(1)当P>0时，若对任意x>0，恒有f(x)≤0,求P的取值范围
（2）证明：   (n∈N，n≥2)

Answer 1

（1）P≥1  （2）证明如下

（1）f(x)=ln₂x-px+1定义域（0，+∞）,f′(x)=-p==
当P>0时，令f′(x)=0,x=（0，+∞）
当x∈(0, )时，f′(x)>0   f(x)为增函数，
当x∈( ，+∞)时f′(x)<0
f(x)为减函数。
f(x)_max=f()=ln
要使f(x)≤0恒成立只要f()=ln≤0
∴P≥1
（2）令P="1" 由（1）知：lnx-x+1≤0
∴lnx≤x-1   n≥2
lnn²≤n²-1    
∴
=(n-1)-()
<(n-1)-[]
=(n-1)-(+)
=(n-1)-()
=