Question

13．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+m}\\{y=tsinα+n}\end{array}\right.$（t为参数）经过椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=2\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）的右焦点F．
（1）求m，n的值；
（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）椭圆的参数方程化为普通方程，可得F的坐标，直线l经过点（m，n），可求m，n的值；
（2）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|•|FB|的最大值与最小值．

解答 解：（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$，
∴a=4，b=2$\sqrt{3}$，c=2，则点F的坐标为（2，0）．
∵直线l经过点（m，n），∴m=4，n=0．
（2）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（12cos²α+16sin²α）t²+12tcosα-36=0．
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t₁，t₂，则
|FA|•|FB|=|t₁t₂|=$\frac{36}{12co{s}^{2}α+16si{n}^{2}α}$=$\frac{9}{3+si{n}^{2}α}$，
当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值3；
当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值$\frac{9}{4}$，
所以|FA|•|FB|的取值范围是[$\frac{9}{4}$，3]．

点评 本题考查参数方程化成普通方程，考查学生的计算能力，正确运用参数的几何意义是关键．