Question

已知对任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时．应该有f′（x）________0，g′（x）________0．

Answer 1

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分析：先利用函数奇偶性的定义判断出f（x），g（x）的奇偶性；利用导数与函数的单调性的关系判断出两个函数在（0，+，∞）
上的单调性，再据奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反得到f（x），g（x）在（-∞，0）的单调性，再利用导数与函数的单调性的关系判断出两个导函数的符号．
解答：∵对任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∴f（x）为奇函数；g（x）为偶函数
∵x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0
∴f（x）在（0，+，∞）上为增函数；g（x）在（0，+，∞）上为增函数
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数；g（x）在（-∞，0）上为减函数
∴f′（x）＞0；g′（x）＜0
故答案为：f′（x）＞0；g′（x）＜0．
点评：导数的符号与函数单调性的关系为：导函数为正则函数单调递增；导函数为负，则函数单调递减；函数的奇偶性与单调性的关系：奇函数在对称区间的单调性相同，偶函数在对称区间的单调性相反．