Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为D，点P在BA的延长线上，且PC是圆O的切线．
（1）求证：∠PCD=∠POC；
（2）若OD：DA=1：2，PA=8，求圆的半径的长．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质发现直角OCP，再根据等角的余角相等进行证明；
（2）根据OD：DA=1：2，设OD=x，DA=2x，根据直角三角形的射影定理列方程求解．

解答：解：（1）∵PC是圆O的切线，
∴OC⊥PC．
又CD⊥AB，
∴∠PCD=∠POC．
（2）设OD=x，DA=2x，
根据两个角对应相等得到△PCO∽△CDO，
则OC²=OD•OP，即9x²=x（8+3x），
解得x=

4

3

或x=0（不合题意，应舍去），
则圆的半径是x=

4

3

．

点评：考查了切线的性质定理和直角三角形的射影定理．本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．