Question

【题目】已知抛物线C：x2=8y．AB是抛物线C的动弦，且AB过F（0，2），分别以A,B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ．

Answer 1

【答案】证明：∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+2，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
由 得到x2﹣8kx﹣16=0，x1+x2=8k，x1x2=﹣16，
抛物线方程为y= x2 ，
∴y′= x
∴过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1= x1 ， k2= x2 ，
∴k1k2= x1 x2=﹣1，
∴AQ⊥BQ
【解析】设AB：y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用切线的几何意义即可求得过抛物线上A、B两点的切线斜率关系，从而解决问题