Question

函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f（x+1）=f（x-1）成立，已知当x∈[1，2]时，f（x）=log_ax．
（1）求x∈[-1，1]时，函数f（x）的表达式．
（2）求x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，函数f（x）的表达式．
（3）若函数f（x）的最大值为

1

2

，在区间[-1，3]上，解关于x的不等式f(x)＞

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由已知中f（x+1）=f（x-1），故可能函数是以2为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[1，2]时，f（x）=log_ax，我们易得，x∈[-1，1]时，函数f（x）的表达式；
（2）由函数的周期性，我们易得函数的解析式；
（3）由于f（x）=log_ax的底数不确定，故我们要对底数进行分类讨论，进而求出满足条件的a值，易将不等式转化为一个对数不等式，根据对数函数的单调性，我们易求出满足条件的不等式的解集．

解答：解：（1）∵f（x+1）=f（x-1），且f（x）是R上的偶函数
∴f（x+2）=f（x）
∴f（x）=

loga(2+x)，x∈[-1，0] loga(2-x)，x∈(0，1]

（2）当x∈[2k-1，2k]时，f（x）=f（x-2k）=log_a（2+x-2k），
同理，当x∈（2k，2k+1]时，f（x）=f（x-2k）=log_a（2-x+2k），
∴f（x）=

loga(2+x-2k)，x∈[2k-1，2k] loga(2-x+2k)，x∈(2k，2k+1]

（3）由于函数是以2为周期的周期函数，故只需要考查区间[-1，1]
当a＞1时，由函数f（x）的最大值为

1

2

，知f（0）=f（x）_max=log_a2=

1

2

，即a=4
当0＜a＜1时，则当x=±1时，函数f（x）取最大值为

1

2

即log_a（2-1）=

1

2

，舍去
综上所述a=4
当x∈[-1，1]时，若x∈[-1，0]，则log₄（2+x）＞

1

4

∴

2

-2＜x≤0
若x∈（0，1]，则log₄（2-x）＞

1

4

∴0＜x＜2-

2

∴此时满足不等式的解集为（

2

-2，2-

2

）
∵函数是以2为周期的周期函数，
∴在区间[-1，3]上，f(x)＞

1

4

的解集为（

2

，4-

2

）
综上所得不等式的解集为（

2

-2，2-

2

）∪（

2

，4-

2

）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，其中当对数函数的底数不确定时，对a进行分类讨论是对数函数常用的处理的方法．