如图,正三棱柱所有棱长都是2,D棱AC的中点,E是棱的中点,AE交于点H.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求点到平面的距离.
(1)参考解析;(2) ;(3)
解析试题分析:(1)由正三棱柱,可得平面ACB⊥平面.又DB⊥AC.所以如图建立空间直角坐标系.分别点A,E,B,D, 的坐标,得出相应的向量.即可得到向量AE与向量BD,向量的数量积为零.即可得直线平面.
(2)由平面,平面分别求出这两个平面的法向量,根据法向量的夹角得到二面角的余弦值(根据图形取锐角).
(3)点到平面的距离,转化为直线与法向量的关系,再通过解三角形的知识即可得点到平面的距离.本小题关键是应用解三角形的知识.
试题解析:(1)证明:建立如图所示,
∵
∴ 即AE⊥A1D, AE⊥BD
∴AE⊥面A1BD
(2)由 ∴取
设面AA1B的法向量为 ,
由图可知二面角D—BA1—A的余弦值为
(3),平面A1BD的法向量取
则B1到平面A1BD的距离d=
考点:1.空间坐标系的建立.2.线面垂直的证明.4.二面角的求法.5.点到平面的距离公式.
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如图所示,在边长为的正方形中,点在线段上,且,,作//,分别交,于点,,作//,分别交,于点,,将该正方形沿,折叠,使得与重合,构成如图所示的三棱柱.
(1)求证:平面;
(2)若点E为四边形BCQP内一动点,且二面角E-AP-Q的余弦值为,求|BE|的最小值.
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如图,已知在四棱锥中,底面是矩形,平面,,,是的中点,是线段上的点.
(1)当是的中点时,求证:平面;
(2)要使二面角的大小为,试确定点的位置.
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如图1,在Rt中,, D、E分别是上的点,且,将沿折起到的位置,使,如图2.
(1)求证:平面平面;
(2)若,求与平面所成角的余弦值;
(3)当点在何处时,的长度最小,并求出最小值.
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如图, 已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.
(1)求证:AG平面BDE;
(2)求:二面角GDEB的余弦值.
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如图所示,在多面体ABCDEFG中,平面ABC∥平面DEFG,AD⊥平面DEFG,BA⊥AC,ED⊥DG,EF∥DG,且AC=1,AB=ED=EF=2,AD=DG=4.
(1)求证:BE⊥平面DEFG;
(2)求证:BF∥平面ACGD;
(3)求二面角F-BC-A的余弦值.
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在三棱锥SABC中,底面是边长为2的正三角形,点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点,侧棱SB和底面成45°角.
(1)若D为侧棱SB上一点,当为何值时,CD⊥AB;
(2)求二面角S-BC-A的余弦值大小.
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