Question

(本小题满分14分)

已知椭圆G与双曲线有相同的焦点，且过点．

(1)求椭圆G的方程；

(2)设、是椭圆G的左焦点和右焦点，过的直线与椭圆G相交于A、B两点，请问的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

 解：(1)双曲线的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标为………………1分

设椭圆的长轴长为，则，即，

又，所以   ∴椭圆G的方程………………5分

(2)如图,设内切圆M的半径为,与直线的切点为C，则三角形的面积等于的面积+的面积+的面积.

即

当最大时,也最大, 内切圆的面积也最大,  ………………7分

设、(),则,

由,得,………………9分

解得,,

∴,令,则,且,

有,令,则,……………11分

当时,,在上单调递增,有,,

即当,时,有最大值,得,这时所求内切圆的面积为,……………12分

∴存在直线,的内切圆M的面积最大值为. ………………13分