Question

【题目】(2015·江苏）已知集合X={1，2，3}，Yn={1,2,3...,n}(nN*)，Sn={(a,b)|a整除b或b整除a， aX, bYn}, 令f(n)表示集合Sn所包含元素的个数。
（1）写出f（6）的值；
（2）当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.

Answer 1

【答案】
（1）

13

（2）

f(n)=

【解析】
(1) 根据题意按a分类计数，a=1, b=1,2,3,4,5,6, a=2, b=1,2,4,5, a=3,b=1,3,6 共13个（2）由（1）知a=1, b=1,2,3,...,n, a=2, b=1,2,4,....,2k, a=3,b=1,3,...,3k(kN*), ，所以当n≥6时，f(n)的表达方式要按2x3=6除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明。
（1）f(6)=13, (2)当n≥6时， f(n)(tN*).
下面用数学归纳法证明:①n=6时，f（6）=6+2+=13, 结论成立。
②假设n=k(k≥6)时结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增的元素在（1，k+1), (2, k+1), (3, k+1)中产生，分以下情形讨论。
1）若k+1=6t, 则k=6(t-1)+5, 此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+++3=(k+1)+2++, 结论成立。
2）若k+1=6t+1, 则k=6t, 此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1=(k+1)+2++, 结论成立。
3)若k+1=6t+1, 则k=6t+1, 此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++, 结论成立。
4)若k+1=6t+3, 则k=6t+2, 此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++, 结论成立。
5)若k+1=6t+4, 则k=6t+3, 此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++, 结论成立。
5)若k+1=6t+5, 则k=6t+5, 此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++1=(k+1)+2++, 结论成立。
综上所述， 结论对满足n≥6的自然数n 均成立。
【考点精析】认真审题，首先需要了解数学归纳法的定义(数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法)．