Question

已知直线方程为（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0．
（1）证明：直线恒过定点；
（2）m为何值时，点Q（3，4）到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．

Answer 1

分析：（1）证明：利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可；
（2）点Q（3，4）到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．
（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，设出直线的方程，求出A，B，然后求出△AOB面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．

解答：（1）证明：直线方程为（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0，可化为（2x+y+4）+m（-x+2y+3）=0，对任意m都成立，所以

-x+2y+3=0 2x+y+4=0

，解得

x=-1 y=-2

，所以直线恒过定点（-1，-2）；
（2）解：点Q（3，4）到直线的距离最大，
可知点Q与定点（-1，-2）的连线的距离就是所求最大值，
即

(3+1)3+(4+2)2

=2

13

．
（3）解：若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，直线方程为y+2=k（x+1），k＜0，
则A（

2

k

-1，0），B（0，k-2），
S_△AOB=

1

2

|

2

k

-1||k-2|=

1

2

(

2

k

-1)(k-2)=2+(

2

-k

+

-k

2

)≥2+2=4，当且仅当k=-2时取等号，面积的最小值为4．
此时直线的方程为2x+y+4=0．

点评：本题是基础题，考查直线系过定点，零点的距离公式，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想．