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已知直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0.
(1)证明:直线恒过定点;
(2)m为何值时,点Q(3,4)到直线的距离最大,最大值为多少?
(3)若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A.B两点,求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
分析:(1)证明:利用直线是直线系求出直线恒过定点,即可;
(2)点Q(3,4)到直线的距离最大,转化为两点间的距离,求出距离就是最大值.
(3)若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A.B两点,设出直线的方程,求出A,B,然后求出△AOB面积,利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程.
解答:(1)证明:直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,可化为(2x+y+4)+m(-x+2y+3)=0,对任意m都成立,所以
-x+2y+3=0
2x+y+4=0
,解得
x=-1
y=-2
,所以直线恒过定点(-1,-2);
(2)解:点Q(3,4)到直线的距离最大,
可知点Q与定点(-1,-2)的连线的距离就是所求最大值,
(3+1)3+(4+2)2
=2
13

(3)解:若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A.B两点,直线方程为y+2=k(x+1),k<0,
则A(
2
k
-1
,0),B(0,k-2),
S△AOB=
1
2
|
2
k
-1||k-2|
=
1
2
(
2
k
-1)(k-2)
=2+(
2
-k
+
-k
2
)
≥2+2=4,当且仅当k=-2时取等号,面积的最小值为4.
此时直线的方程为2x+y+4=0.
点评:本题是基础题,考查直线系过定点,零点的距离公式,基本不等式的应用,考查计算能力,转化思想.
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