Question

11．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲第一关、第二关、第三关的概率分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，选手选择继续闯关的概率均为$\frac{1}{2}$，且各关之间闯关成功互不影响
（1）求选手获得5个学豆的概率；
（2）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率．

Answer 1

分析 （1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出选手获得5个学豆的概率．
（2）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A₁，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A₂，则A₁，A₂互斥，由此能求出选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率．

解答 解：（1）选手获得5个学豆的概率$P（X=5）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$
（2）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，
“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A₁，
“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A₂，则A₁，A₂互斥，
$P（{A_1}）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{8}$，$P（{A_2}）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{1}{16}$，
∴选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率$P（A）=P（{A_1}）+P（{A_2}）=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．