Question

有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为0.6，0.8，0.9．
（Ⅰ）若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；
（Ⅱ）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率；
（Ⅲ）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本题符合独立重复试验，试验发生3次，每一次试验甲对乙取胜的概率是0.6，根据独立重复试验的概率公式，得到甲和乙之间进行三场比赛，甲恰好胜两场的概率．
（Ⅱ）甲与每一位进行一场比赛，甲进行三场比赛，甲恰好胜两场包括三种结果，这三种结果是互斥的，而在每一种情况中发生的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．
（III）四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为ξ，由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．
根据变量对应的事件写出概率，写出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，本题符合独立重复试验，试验发生3次，每一次试验甲对乙取胜的概率是0.6，
∴甲和乙之间进行三场比赛，甲恰好胜两场的概率为P₁=C₃²×0.6²×0.4=0.432．
（Ⅱ）记“甲胜乙”，“甲胜丙”，“甲胜丁”三个事件分别为A，B，C，
则P（A）=0.6，P（B）=0.8，P（C）=0.9．
则四名运动员每两人之间进行一场比赛，
甲恰好胜两场包括三种结果，这三种结果是互斥的，而在每一种情况中发生的事件是相互独立的，
∴P(A?B?

.

C

+A?

.

B

?C+

.

A

?B?C)=
P（A）?P（B）?[1-P（C）]+P（A）?[1-P（B）]?P（C）+[1-P（A）]?P（B）?P（C）
=0.6×0.8×0.1+0.6×0.2×0.9+0.4×0.8×0.9
=0.444
（Ⅲ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=0.4×0.2×0.1=0.008；
P（ξ=1）=0.6×0.2×0.1+0.4×0.8×0.1+0.4×0.2×0.9=0.116；
由（Ⅱ）得P（ξ=2）=0.444；P（ξ=3）=0.6×0.8×0.9=0.432．
∴随机变量ξ的分布列为

Eξ=0×0.008+1×0.116+2×0.444+3×0.432=2.3．

点评：求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．