分析 利用坐标表示$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$,求出$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$夹角的余弦值,从而得出A的正弦值,再计算△ABC的面积.
解答 解:∵A(1,1,1)、B(2,2,2)、C(3,2,4),
∴$\overrightarrow{AB}$=(1,1,1),$\overrightarrow{AC}$=(2,1,3),
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=1×2+1×1+1×3=6,
|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{3}$,
|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{14}$;
∴cos<$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$>=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{6}{\sqrt{3}×\sqrt{14}}$=$\sqrt{\frac{6}{7}}$;
即cosA=$\sqrt{\frac{6}{7}}$,
∴sinA=$\sqrt{1{-cos}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$;
△ABC的面积为
S△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|sinA=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{14}$×$\frac{\sqrt{7}}{7}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$.
点评 本题考查了空间向量的坐标运算的应用问题,也考查了求三角形的面积问题,是基础题目.
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A. | $(1,\frac{1}{2})$ | B. | (-2,1) | C. | (2,-1) | D. | $(-1,-\frac{1}{2})$ |
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A. | (0,3) | B. | (0,3] | C. | (0,2) | D. | (0,2] |
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