Question

（本小题满分10分）
如图，AB是⊙O的直径 ，AC是弦 ，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E.OE交AD于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，求的值.

Answer 1

（1）结合同弧所对的圆周角相等来求解直线DE⊥OD，同时OD是圆的半径来说明是切线
（2）根据题意可知△AED∽△ADB可得 AD²=AC·AB
求解得到AE，又由△AEF∽△DOF，得到比值。

解析试题分析：略证 （１） 连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ……2分
∴OD∥AE  又AE⊥DE             …………3分
∴DE⊥OD，又OD为半径 ∴ DE是的⊙O切线 …………5分
⑵ 提示：过D作DH⊥AB于H 则有∠DOH=∠CAB
 
Cos∠DOH=cos∠CAB=   ……………………6分
设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x
∴AH=8x   AD²=80x²
由△AED∽△ADB可得 AD²=AC·AB=AC·10x  
∴AE=8X…………8分
又由△AEF∽△DOF   可得AF∶DF= AE∶OD =；
∴=……10分
考点：圆的切线问题，以及相似比的运用。
点评：解决该试题的关键是利用垂直关系证明相切同时利用相似比来求解比值问题，属于基础题。