Question

6．函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 函数f（x）=$\sqrt{（x-0）^{2}+（1-0）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-3）^{2}}$表示点P（x，0）与A（0，1）和B（2，3）的距离，作A关于x轴的对称点A'（0，-1），连接A'B，运用两点间线段最短，即可得到所求的最小值．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$
=$\sqrt{（x-0）^{2}+（1-0）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-3）^{2}}$，
表示点P（x，0）与A（0，1）和B（2，3）的距离，
作A关于x轴的对称点A'（0，-1），
连接A'B，由|PA|+|PB|≥|PA'|+|PB|
=|A'B|=$\sqrt{（0-2）^{2}+（-1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
当且仅当A'，B，P三点共线时，取得最小值，且为2$\sqrt{5}$．
故选：A．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用几何意义：两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．