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已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).
(Ⅰ)若点F到直线l的距离为
3
,求直线l的斜率;
(Ⅱ)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴重合,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值.
(Ⅰ)由已知,x=4不合题意.设直线l的方程为y=k(x-4),
由已知,抛物线C的焦点坐标为(1,0),…(1分)
因为点F到直线l的距离为
3

所以
|3k|
1+k2
=
3
,…(3分)
解得k=±
2
2
,所以直线l的斜率为±
2
2
.…(5分)
(Ⅱ)设线段AB中点的坐标为N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
因为AB不垂直于x轴,
则直线MN的斜率为
y0
x0-4

直线AB的斜率为
4-x0
y0
,…(7分)
直线AB的方程为y-y0=
4-x0
y0
(x-x0)
,…(8分)
联立方程
y-y0=
4-x0
y0
(x-x0)
y2=4x

消去x得(1-
x0
4
)y2-y0y+
y20
+x0(x0-4)=0
,…(10分)
所以y1+y2=
4y0
4-x0
,…(11分)
因为N为AB中点,
所以
y1+y2
2
=y0
,即
2y0
4-x0
=y0
,…(13分)
所以x0=2.即线段AB中点的横坐标为定值2.…(14分)
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已知抛物线y2=4x的焦点为F,其准线与x轴交于点M,过M作斜率为k的直线与抛物线交于A、B两点,弦AB的中点为P,AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0,0).
(1)求k的取值范围;
(2)求证:x0>3;
(3)△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形?若能,求此k的值;若不能,说明理由.

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已知抛物线
y
2
 
=4x
的焦点为F,过点A(4,4)作直线l:x=-1垂线,垂足为M,则∠MAF的平分线所在直线的方程为
x-2y+4=0
x-2y+4=0

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nm+3
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FA
|+|
FB
|
=
7
7

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7
7

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