【题目】如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差都大于2,则称这个数列为“阿当数列”.
(1)若数列为“阿当数列”,且
,
,
,求实数
的取值范围;
(2)是否存在首项为1的等差数列为“阿当数列”,且其前
项和
满足
?若存在,请求出
的通项公式;若不存在,请说明理由.
(3)已知等比数列的每一项均为正整数,且
为“阿当数列”,
,
,当数列
不是“阿当数列”时,试判断数列
是否为“阿当数列”,并说明理由.
【答案】(1);(2)不存在,理由见详解;(3)见详解.
【解析】
(1)根据题意,得到,求解即可得出结果;
(2)先假设存在等差数列为“阿当数列”,设公差为
,则
,根据等差数列求和公式,结合题中条件,得到
,即
对任意
都成立,判断出
,推出矛盾,即可得出结果;
(3)设等比数列的公比为
,根据
为“阿当数列”,推出在数列
中,
为最小项;在数列
中,
为最小项;得到
,
,再由数列
每一项均为正整数,得到
,
或
,
;分别讨论
,
和
,
两种情况,结合数列的增减性,即可得出结果.
(1)由题意可得:,
,
即,解得
或
;
所以实数的取值范围是
;
(2)假设存在等差数列为“阿当数列”,设公差为
,则
,
由可得:
,
又,所以
对任意
都成立,
即对任意
都成立,
因为,且
,所以
,与
矛盾,
因此,不存在等差数列为“阿当数列”;
(3)设等比数列的公比为
,则
,且每一项均为正整数,
因为为“阿当数列”,所以
,
所以,
;因为
,
即在数列中,
为最小项;
同理,在数列中,
为最小项;
由为“阿当数列”,只需
,即
,
又因为数列不是“阿当数列”,所以
,即
,
由数列每一项均为正整数,可得:
,所以
,
或
,
;
当,
时,
,则
,
令,则
,
所以,
即数列为递增数列,
所以,
因为,所以对任意
,都有
,
即数列是“阿当数列”;
当,
时,
,则
,
显然数列是递减数列,
,
故数列不是“阿当数列”;
综上,当时,数列
是“阿当数列”;当
时,数列
不是“阿当数列”.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直三棱柱中,
,
,点
为棱
的中点,点
为线段
上一动点.
(Ⅰ)求证:当点为线段
的中点时,
平面
;
(Ⅱ)设,试问:是否存在实数
,使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
?若存在,求出这个实数
;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】国家放开计划生育政策,鼓励一对夫妇生育2个孩子.在某地区的100000对已经生育了一胎夫妇中,进行大数据统计得,有100对第一胎生育的是双胞胎或多胞胎,其余的均为单胞胎.在这99900对恰好生育一孩的夫妇中,男方、女方都愿意生育二孩的有50000对,男方愿意生育二孩女方不愿意生育二孩的有对,男方不愿意生育二孩女方愿意生育二孩的有
对,其余情形有
对,且
.现用样本的频率来估计总体的概率.
(1)说明“其余情形”指何种具体情形,并求出,
,
的值;
(2)该地区为进一步鼓励生育二孩,实行贴补政策:凡第一胎生育了一孩的夫妇一次性贴补5000元,第一胎生育了双胞胎或多胞胎的夫妇只有一次性贴补15000元.第一胎已经生育了一孩再生育了二孩的夫妇一次性再贴补20000元.这种补贴政策直接提高了夫妇生育二孩的积极性:原先男方或女方中只有一方愿意生育二孩的夫妇现在都愿意生育二孩,但原先男方、女方都不愿意生育二孩的夫妇仍然不愿意生育二孩.设为该地区的一对夫妇享受的生育贴补,求
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】国庆期间,一位游客来到某旅游城市,这里有甲、乙、丙三个著名的旅游景点,若这位游客游览这三个景点的概率分别是,且客人是否游览哪个景点互不影响,设
表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
(Ⅰ)求的分布列和数学期望;
(Ⅱ)记“时,不等式
恒成立”为事件
,求事件
发生的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学为提升学生的英语学习能力,进行了主题分别为“听”、“说”、“读”、“写”四场竞赛.规定:每场竞赛的前三名得分分别为,
,
(
,且
,
,
),选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名,在四场竞赛中,已知甲最终分为
分,乙最终得分为
分,丙最终得分为
分,且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名,则“听”这场竞赛的第三名是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 甲和丙都有可能
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】现有一个关于平面图形的命题:如图,同一平面内有两个边长都是2的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为______.
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