Question

【题目】如图，焦点在x轴的椭圆，离心率e= ，且过点A（﹣2，1），由椭圆上异于点A的P点发出的光线射到A点处被直线y=1反射后交椭圆于Q点（Q点与P点不重合）．

（1）求椭圆标准方程；
（2）求证：直线PQ的斜率为定值；
（3）求△OPQ的面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆方程为 ，

∵椭圆经过点（﹣2，1），

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴椭圆方程为

（2）证明：设直线AP方程为y=k（x+2）+1，则直线AQ的方程为y=﹣k（x+2）+1

由 可得（1+2k2）x2+4k（2k+1）x+8k2+8k﹣4=0，△＞0，

设P（x1，y1），由A（﹣2，1）可得 ，

∴P（ ， ），

同理可得Q（ ， ），

∴kPQ=﹣1

（3）由（2），设PQ的方程为y=﹣x+m，代入椭圆方程得：3x2﹣4mx+2m2﹣6=0．

令△＞0，得﹣3＜m＜3，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则 ，

∴

设原点O到直线的距离为d，则 ，

∴ ，

当 时，△OPQ面积的最大值为

【解析】（1）设出椭圆的方程利用离心率且过点A求出几何量即可得出椭圆的标准方程。（2）设出直线的方程分别与椭圆的方程联立，求出P、Q的坐标即可得出结论。（3）根据题意设出PQ的直线方程代入椭圆方程利用弦长公式求出再求出原点到直线的距离即可得△OPQ的面积，然后利用基本不等式即可求出最大值。