Question

已知函数f（x）=4cosxsin（x-

π

3

）+

3

．
（1）求函数f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，f（C）=

3

，且c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数，结合正弦函数的性质，可得函数f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上的值域；
（2）先求出C，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得△ABC面积的最大值．

解答：解：（1）f（x）=4cosxsin（x-

π

3

）+

3

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），…4分
由

π

4

≤x≤

π

2

，有

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，∴得函数f（x）的值域为[1，2]．…6分
（2）由f（C）=

3

，有sin（2C-

π

3

）=

3

2

，
∵C为锐角，∴2C-

π

3

=

π

3

，∴C=

π

3

．…9分
∵c=2，∴由余弦定理得：a²+b²-ab=4，
∵a²+b²≥2ab，∴4=a²+b²-ab≥ab．
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

，
∴当a=b，即△ABC为正三角形时，△ABC的面积有最大值

3

．…13分．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．