Question

设数列[a_n]的前N项和为S_n，点（a_n，S_n）在直线y=x-1上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在a_n与a _n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列，求数列{}的前n项和T_n，并求使T_n+成立的正整数n最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵由题设知，
S_n=a_n-1，①∴a₁=S₁=a₁-1，解得a₁=2
n≥2时，S_n-1=a_n-1-1，②
①-②可得：a_n=a_n-a_n-1，
∴a_n=3a_n-1（n≥2），即数列{a_n}是等比数列
∴a_n=2•3^n-1，
（Ⅱ）由（I）得，a_n+1=2•3ⁿ，a_n=2•3^n-1，
∵a_n+1=a_n+（n-1）d_n，∴d_n=，，
令T_n=++++…+，
∴T_n=+++…+，
∴T_n=+（++…+）-，
=+×-=-，
∴T_n=-．
∴
即，
3ⁿ≥81，
得n≥4．
∴使T_n+成立的正整数n最小值是4．
分析：（Ⅰ）先利用点（a_n，S_n）在直线y=x-1上得S_n=a_n-1，再写一式，两式作差即可求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）先把所求结论代入求出数列{T_n}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和，最后利用不等关系求解即可．
点评：本题考查数列的通项，考查数列求和的错位相减法，考查计算能力，属于中档题．