Question

已知抛物线C：y²=ax（a＞0），抛物线上一点到抛物线的焦点F的距离是3．
（1）求a的值；
（2）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线C于A、B两点．
（i）若直线l的斜率为1，求AB的长；
（ii）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）点到焦点的距离就是到准线的距离，再利用在抛物线上，即可求a的值；
（2）（i）直线l的方程为与抛物线方程联立，利用韦达定理，可求AB的长；
（ⅱ）设存在直线m：x=a满足题意，则圆心，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G．可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²，由此可得结论．
解答：解：（1）点到焦点的距离就是到准线的距离，
∴…（2分）
∵在抛物线上得：a•x=8…（3分）
∴a²-12a+32=0，a=4（舍）或a=8，
∴x=1（舍）或x=2…（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（i）直线l的方程为：y=x-4，…（6分）
联立，整理得：x²-12x+16=0…（7分）
∴|AB|==．…（9分）
（ⅱ）设存在直线m：x=a满足题意，则圆心，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G．可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²，…（11分）
即|EG|²=|MA|²-|ME|²=
=
==…（13分）
当a=3时，|EG|²=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值．…（14分）
因此存在直线m：x=3满足题意                                    …（15分）
点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．