Question

16．曲线$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=4的四个顶点连结而成的四边形面积是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用椭圆的定义，确定轨迹方程，即可得出结论．

解答 解：曲线$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=4，表示（x，y）与（-1，0），（1，0）的距离的和为4，
∴轨迹为以（-1，0），（1，0）为焦点的椭圆，且c=1，a=2，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴曲线$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=4的四个顶点连结而成的四边形面积是4×$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的定义与方程，考查学生的计算能力，属于中档题．