【题目】如图,已知椭圆的左焦点为,过点F做x轴的垂线交椭圆于A,B两点,且.
(1)求椭圆C的标准方程:
(2)若M,N为椭圆上异于点A的两点,且直线的倾斜角互补,问直线MN的斜率是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:(1) 由题意可知,令,代入椭圆可得,又,解出a,b,可得椭圆方程;(2) 由(1)可知, ,代入椭圆可得,所以, 因为直线的倾斜角互补,所以直线的斜率与的斜率互为相反数;设直线方程为: ,与椭圆方程联立,根据韦达定理可求出点M的坐标,同理求出N点坐标,根据两点的斜率公式,代入化简可得定值.
试题解析:
(1)由题意可知,
令,代入椭圆可得,所以,又,
两式联立解得: ,
.
(2)由(1)可知, ,代入椭圆可得,所以,
因为直线的倾斜角互补,所以直线的斜率与的斜率互为相反数;
可设直线方程为: ,代入得:
,
设, ,因为点在椭圆上,
所以, , ,
又直线的斜率与的斜率互为相反数,在上式中以代替,可得
, ,
所以直线的斜率,
即直线的斜率为定值,其值为.
点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.
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【题目】国家规定,中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时,为了解这项政策的落实情况,有关部门就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题,在某校随机抽查了部分学生,再根据活动时间t(小时)进行分组(A组:t<0.5,B组:0.5≤t≤1,C组:1≤t<1.5,D组:t≥1.5),绘制成如下两幅不完整统计图,请根据图中信息回答问题:
(1)此次抽查的学生数为人;
(2)补全条形统计图;
(3)从抽查的学生中随机询问一名学生,该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是
(4)若当天在校学生数为1200人,请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有人.
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【题目】为了让学生更多的了解“数学史”知识,梁才学校高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹,倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动,共有800名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,统计结果见下表.请你根据频率分布表解答下列问题:
序号 | 分组 | 组中值 | 频数 | 频率 |
(i) | (分数) | (Gi) | (人数) | (Fi) |
1 | 65 | ① | 0.12 | |
2 | 75 | 20 | ② | |
3 | 85 | ③ | 0.24 | |
4 | 95 | ④ | ⑤ | |
合计 | 50 | 1 |
(1)填充频率分布表中的空格;
(2)为鼓励更多的学生了解“数学史”知识,成绩不低于85分的同学能获奖,请估计在
参加的800名学生中大概有多少名学生获奖?
(3)在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图,求输出的S的值.查看答案和解析>>
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【题目】甲、乙两名篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球2次均未命中的概率为。
(1)求乙投球的命中率。
(2)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为,求的分布列和数学期望。
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,过点A(﹣6,0)的直线l1与直线l2:y=2x相交于点B(m,4).
(1)求直线l1的表达式;
(2)过动点P(n,0)且垂于x轴的直线与l1 , l2的交点分别为C,D,当点C位于点D上方时,写出n的取值范围.
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【题目】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,求在不超过600个工时的条件下,生产产品A和产品B的利润之和的最大值(元).
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1(m>0)与x轴的交点为A,B.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
①当m=1时,求线段AB上整点的个数;
②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m的取值范围.
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【题目】已知圆的圆心在轴上,半径为1,直线被圆所截的弦长为,且圆心在直线的下方.
(1)求圆的方程;
(2)设,若圆是的内切圆,求的面积的最大值和最小值.
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