Question

【题目】如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．

Answer 1

【答案】（1）x2=8y（2）直线AB的方程为，经过焦点F（0，2）

【解析】试题分析：（1）由点M（4，m）在抛物线上得16=2pm，根据抛物线的定义得|MF|=m+=4，建立关于p的方程求得p即可得到所求方程；（2）设出直线EA，EB的方程，根据相切利用代数方法求得切点A，B的坐标，然后求得直线AB的方程后验证即可。

试题解析：

（1）由条件得抛物线C的准线方程为，

∴|MF|=m+=4，

∵点M（4，m）在抛物线上，

∴16=2pm，

∴p2﹣8p+16=0，解得p=4，

∴抛物线C的标准方程为x2=8y。

（2）设直线EA的方程为，

由，消去x整理得得2y2﹣（2+8）y+1=0，

∵直线EA与抛物线C相切，

∴△=（2+8）2﹣42=0，解得=﹣2，

∴y2﹣4y+1=0

解得

∴，

故点A的坐标为，

设直线EB的方程为x=ty﹣1，

由，消去x整理得：（t2+1）y2﹣（2t+4）y+1=0，

∵直线EB与圆F相切，

∴△=（2t+4）2﹣4（t2+1）=0，解得，

∴25y2﹣40y+16=0

解得y，

，

故点B的坐标为，

∴直线AB的斜率，

可得直线AB的方程为，该直线经过抛物线的焦点F（0，2）。