Question

在△ABC中，已知tan

A+B

2

=sinC，给出以下四个论断：
（1）tanAcotB=1；
（2）1＜sinA+sinB≤

2

（3）sin²A+cos²B=1；
（4）cos²A+cos²B=sin²C；
其中正确论断的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用三角函数的相应公式分别进行化简证明，即可判断出答案．

解答：解：（1）由tan

A+B

2

=sinC，得

sin? A+B 2

cos? A+B 2

=sin?(A+B)=2sin

A+B

2

cos?

A+B

2

即sin?

A+B

2

=2sin

A+B

2

cos?2

A+B

2

．
所以整理求得cos（A+B）=0
∴A+B=90°．∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，所以（1）不正确．
（2）sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+45°）
∵45°＜A+45°＜135°，∴

2

2

＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤

2

，所以（2）正确．
（3）sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1不一定成立，故（3）不正确．
（4）cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，sin²C=sin²90°=1，所以cos²A+cos²B=sin²C．所以（4）正确．
综上知（2）（4）正确．
故选B．

点评：本题主要考查三角函数的化简与求值，考查学生的运算能力．