【题目】已知双曲线过点P(﹣3 , 4),它的渐近线方程为y=±
x.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设F1和F2为该双曲线的左、右焦点,点P在此双曲线上,且|PF1||PF2|=41,求∠F1PF2的余弦值.
【答案】解:(1)设双曲线的方程为y2﹣x2=λ(λ≠0),
代入点P(﹣3,4),可得λ=﹣16,
∴所求求双曲线的标准方程为
(2)设|PF1|=d1 , |PF2|=d2 , 则d1d2=41,
又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6,
∴d12+d22﹣2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=118,
又|F1F2|=2c=10,
∴|F1F2|2=100=d12+d22﹣2d1d2cos∠F1PF2
∴cos∠F1PF2=
【解析】(1)根据双曲线渐近线方程为y=±x,设双曲线方程为y2﹣
x2=λ(λ≠0),代入点P的坐标算出λ=﹣16,即可得到双曲线的标准方程;
(2)由双曲线的标准方程,算出a=3、b=4且c=5,设|PF1|=d1 , |PF2|=d2 , 则d1d2=41,又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6,再由△F1PF2中|F1F2|=10,利用余弦定理加以计算即可得出∠F1PF2的余弦值.
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【题目】设p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x 满足;
(1)若a=1且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,点A,B的坐标分别是(0,﹣3),(0,3)直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是﹣ .
(1)求点M的轨迹L的方程;
(2)若直线L经过点P(4,1),与轨迹L有且仅有一个公共点,求直线L的方程.
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【题目】(本小题满分12分)某中学欲制定一项新的制度,学生会为此进行了问卷调查,所有参与问卷调查的人中,持有“支持”、“不支持”和“既不支持也不反对”的人数如下表所示:
支持 | 既不支持也不反对 | 不支持 | |
高一学生 | 800 | 450 | 200 |
高二学生 | 100 | 150 | 300 |
(Ⅰ)在所有参与问卷调查的人中,用分层抽样的方法抽取个人,已知从“支持”的人中抽取了45人,求
的值;
(Ⅱ)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有1人是高一学生的概率.
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【题目】一个盒子里装有标号为1,2,3,…,5的5张标签,现随机地从盒子里无放回地抽取两张标签.记X为两张标签上的数字之和.
(1)求X的分布列.
(2)求X的期望E(X)和方差D(X).
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【题目】设函数 的极值点.
(1)若函数f(x)在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0,求函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)=0恰有两解,求实数c的取值范围.
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【题目】如图,函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|≤ )的图象与坐标轴的三个交点为P,Q,R,且P(1,0),Q(m,0)(m>0),∠PQR=
,M为QR的中点,|PM|=
.
(1)求m的值及f(x)的解析式;
(2)设∠PRQ=θ,求tanθ.
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