Question

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2AA₁=4，点O是底面ABCD的中心，点E是A₁D₁的中点，点P是底面ABCD上的动点，且到直线OE的距离等于1．设点P的轨迹为L，则L的离心率等于

2

2

．

Answer 1

分析：由题意可知点P在以OE为轴，半径为1的圆柱侧面上，点P又在底面ABCD上，得点P的轨迹是平面ABCD与圆柱侧面的交线，想象知其必为椭圆，由轴OE与ABCD成45°，可算得其离心率

解答：解：由题意可知：知点P的轨迹为椭圆，作EF⊥AD于点F，则EF=OF=2，△OEF为等腰直角三角形，得轴OE与平面ABCD所成的角为45°，
∵P的轨迹是椭圆，而半长轴长a=

2

，短半轴长为b=1，
∴c²=a²-b²=1，
∴e=

1

2

=

2

2

．
故答案为：

2

2

点评：本题考查立体几何与椭圆的交汇，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．