Question

下面四个命题：
①奇函数的图象一定过原点；
②函数y=

1-x2

|x+2|-2

是奇函数；
③奇函数f（x）在[a，b]上为增函数，则函数f（x）在[-b，-a]上为减函数；
④定义在R上的函数y=f（x），则函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称；
其中正确命题的序号是

②④

（把所有正确命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：①奇函数的定义域只是关于原点对称．②利用函数的奇偶性的定义进行判断．③利用奇函数与单调性之间的关系进行判断．④利用函数图象之间的对称性判断．

解答：解：①根据奇函数的定义可知，奇函数的定义域只是关于原点对称，不一定过原点，比如函数f（x）=

1

x

，所以①错误．
②由1-x²≥0．得x²≤1，即-1≤x≤1．此时y=

1-x2

|x+2|-2

=

1-x2

x+2-2

=

1-x2

x

，为奇函数，所以②正确．
③根据奇函数在对称区间上单调性相同可知，奇函数f（x）在[a，b]上为增函数，则函数f（x）在[-b，-a]上为增函数，所以③错误．
④设t=x-1，则x=t+1，则y=f（x-1）=f（t），y=f（1-x）=f（-t），∵y=f（t）和y=f（-t）关于y轴对称，
∴函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称，所以④正确．
故答案为：②④

点评：本题主要考查函数的有关性质的综合应用，要求熟练掌握函数奇偶性，对称性和单调性之间的关系．