Question

偶函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）-2xy-1，则f（x）的表达式为________．

Answer 1

f（x）=-x²+1
分析：可采用赋值法，令x=y=0，求得f（0）=1，再令y=-x，结合f（x）是偶函数，即可求得f（x）的表达式．
解答：∵f（x+y）=f（x）+f（y）-2xy-1，
令x=y=0，f（0）=f（0）+f（0）-1，
解得f（0）=1，
再令y=-x，f（0）=f（x）+f（-x）+2x²-1，又f（x）是偶函数，故f（-x）=f（x），
∴1=f（x）+f（x）+2x²-1，即2f（x）=-2x²+2
∴f（x）=-x²+1
故答案为：f（x）=-x²+1．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法及偶函数的概念的应用，属于中档题．